7 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.

Третий признак подобия треугольников гласит: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁ = k. Нужно доказать, что треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁.

Отложим на стороне AB отрезок AD, равный A₁B₁, и проведем DE параллельно BC. Тогда треугольник ADE подобен треугольнику ABC по первому признаку подобия (угол A общий, угол ADE = углу ABC как соответственные при параллельных DE и BC).

Из подобия треугольников ADE и ABC следует: AD/AB = DE/BC = AE/AC.

Так как AD = A₁B₁, то A₁B₁/AB = DE/BC = AE/AC. По условию, A₁B₁/AB = B₁C₁/BC = A₁C₁/AC = 1/k. Следовательно, DE/BC = B₁C₁/BC, откуда DE = B₁C₁; AE/AC = A₁C₁/AC, откуда AE = A₁C₁.

Таким образом, треугольники ADE и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам (AD = A₁B₁, DE = B₁C₁, AE = A₁C₁). Но треугольник ADE подобен треугольнику ABC. Следовательно, треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику ABC, что и требовалось доказать.

Ответ: Сформулирована и доказана теорема, выражающая третий признак подобия треугольников.