8 Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии тре- угольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть DE - средняя линия треугольника ABC, где D - середина AB, E - середина AC. Нужно доказать, что DE || BC и DE = 1/2 BC.

Рассмотрим треугольники ADE и ABC. Угол A - общий. AD/AB = 1/2, AE/AC = 1/2. Следовательно, AD/AB = AE/AC. Таким образом, треугольники ADE и ABC подобны по второму признаку подобия (угол и пропорциональность двух сторон).

Из подобия треугольников ADE и ABC следует: угол ADE = углу ABC, а это соответственные углы при прямых DE и BC и секущей AB. Следовательно, DE || BC.

Также из подобия следует DE/BC = AD/AB = 1/2, откуда DE = 1/2 BC, что и требовалось доказать.

Ответ: Дано определение средней линии треугольника, сформулирована и доказана теорема о средней линии треугольника.