Контрольные задания
Вопрос:

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Фото задания: Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.Фото задания

Ответ:

Третий признак равенства треугольников

Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

  1. Пусть даны два треугольника: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
  2. Предположим, что \( AB = A_1B_1 \), \( BC = B_1C_1 \) и \( AC = A_1C_1 \).
  3. Наложим \( \triangle ABC \) на \( \triangle A_1B_1C_1 \) так, чтобы отрезок \( AB \) совпал с равным ему отрезком \( A_1B_1 \).
  4. Возможны три случая расположения точки \( C \) относительно отрезка \( A_1B_1 \):
    • Случай 1: Точка \( C \) лежит по ту же сторону от прямой \( A_1B_1 \), что и точка \( C_1 \), и \( AC = A_1C_1 \).
      • Так как \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \), то точки \( C \) и \( C_1 \) лежат на пересечении окружностей с центрами \( A_1 \) и \( B_1 \) и радиусами \( A_1C_1 \) и \( B_1C_1 \) соответственно.
      • Две окружности пересекаются максимум в двух точках.
      • Если \( C \) совпадает с \( C_1 \), то \( \triangle ABC \) совпадает с \( \triangle A_1B_1C_1 \) наложением, и они равны.
    • Случай 2: Точка \( C \) лежит по ту же сторону от прямой \( A_1B_1 \), что и точка \( C_1 \), но \( AC \neq A_1C_1 \).
      • Это противоречит условию \( AC = A_1C_1 \).
    • Случай 3: Точка \( C \) лежит по другую сторону от прямой \( A_1B_1 \), чем точка \( C_1 \).
      • В этом случае, если мы проведем прямую \( C_1C \), то \( \triangle A_1B_1C_1 \) и \( \triangle A_1B_1C \) будут равнобедренными с общей стороной \( A_1B_1 \).
      • Биссектриса \( C_1M \) к основанию \( A_1B_1 \) будет также высотой и медианой.
      • Следовательно, \( C_1M \bot A_1B_1 \) и \( \angle A_1MC_1 = \angle B_1MC_1 = 90^{\circ} \).
      • \( \triangle A_1MC_1 \) и \( \triangle B_1MC_1 \) равны по гипотенузе и катету.
      • \( \angle A_1C_1M = \angle B_1C_1M \) и \( \angle A_1C_1 = \angle B_1C_1 \).
      • Аналогично, \( \triangle A_1MC \) и \( \triangle B_1MC \) равны.
      • \( \angle A_1CM = \angle B_1CM \) и \( \angle A_1C = \angle B_1C \).
      • \( \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 \) (сумма равных углов).
      • Тогда \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку.

Таким образом, в любом случае треугольники равны.