Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство:

1. Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), и \( BD \) — биссектриса угла \( B \).
2. Так как \( BD \) — биссектриса, то \( \angle ABD = \angle CBD \).
3. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то \( AB = BC \).
4. Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \).
5. У них \( AB = BC \) (по условию), \( \angle ABD = \angle CBD \) (по построению), \( BD \) — общая сторона.
6. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABD = \triangle CBD \).
7. Из равенства треугольников следует, что:
• \( AD = CD \) (стороны, лежащие против равных углов \( \angle ABD \) и \( \angle CBD \)). Это значит, что \( BD \) — медиана.
• \( \angle BDA = \angle BDC \) (углы, лежащие против равных сторон \( AB \) и \( BC \)).
8. Так как \( \angle BDA + \angle BDC = 180^{\circ} \) (как смежные углы), то \( \angle BDA = \angle BDC = 180^{\circ} / 2 = 90^{\circ} \).
9. Следовательно, \( BD \) перпендикулярна \( AC \), то есть \( BD \) — высота.

Таким образом, биссектриса \( BD \), проведенная к основанию \( AC \) равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.