С1. Радиус окружности, описанной около правильного че- тырехугольника, равен 6√2 см. Вычислите отношение площади четырехугольника к площади круга, вписан- ного в данный четырехугольник.

Ответ: 2

Правильный четырехугольник, описанный около окружности, — это квадрат.

Пусть радиус описанной окружности равен \( R = 6\sqrt{2} \) см.

Диагональ квадрата равна двум радиусам описанной окружности:

\[d = 2R = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \text{ см}\]

Сторона квадрата \( a \) связана с диагональю \( d \) соотношением:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12 \text{ см}\]

Площадь квадрата:

\[S_{\text{квадрата}} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2\]

Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата:

\[r = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}\]

Площадь вписанной окружности:

\[S_{\text{окружности}} = \pi r^2 = \pi (6^2) = 36\pi \text{ см}^2\]

Отношение площади квадрата к площади вписанной окружности:

\[\frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{окружности}}} = \frac{144}{36\pi} = \frac{4}{\pi}\]

Отношение площади четырехугольника к площади круга, вписанного в данный четырехугольник равно 4/π.

Ответ: 4/π