Ромб с диагоналями, длины которых равны 10 и 12, вращается вокруг прямой, проходящей в плоскости ромба через вершину одного из острых углов параллельно меньшей диагонали. Найдите объем и полученного тела вращения. В ответ запишите значение выражения V/π

Краткое пояснение:

Найдем объем тела вращения, используя теорему Гульдина.

Пошаговое решение:

1. Диагонали ромба d₁ = 10 и d₂ = 12. Площадь ромба S = (d₁ * d₂) / 2 = (10 * 12) / 2 = 60.
2. Сторона ромба: a = √((d₁/2)² + (d₂/2)²) = √(5² + 6²) = √61.
3. Острая высота ромба: sin(α) = (2S) / (a*a) = 120 / 61.
4. Рассмотрим вращение ромба вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла параллельно меньшей диагонали. Эта прямая удалена от центра ромба на расстояние, равное половине большей диагонали: r = d₂/2 = 6.
5. Центр тяжести ромба находится в точке пересечения диагоналей. Объем тела вращения: V = 2πR * S, где R = d₂/2 = 6 – расстояние от центра ромба до оси вращения.
6. V = 2π * 6 * 60 = 720π.
7. Тогда V/π = 720.

Ответ: 720