Найдите произведение наименьшего корня (в градусах) на количество различных корней уравнения tgx - √3·ctgx = √3 -1 на промежутке [-250°; 250°].

Краткое пояснение:

Решим тригонометрическое уравнение и найдем корни на заданном промежутке.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем уравнение, используя ctgx = 1/tgx:
   • tgx - √3/tgx = √3 - 1
   • tg²x - √3 = (√3 - 1)tgx
   • tg²x - (√3 - 1)tgx - √3 = 0
2. Решим квадратное уравнение относительно tgx. Пусть t = tgx:
   • t² - (√3 - 1)t - √3 = 0
   • D = (√3 - 1)² - 4 * (-√3) = 3 - 2√3 + 1 + 4√3 = 4 + 2√3 = (1 + √3)²
   • t₁ = ((√3 - 1) + (1 + √3)) / 2 = 2√3 / 2 = √3
   • t₂ = ((√3 - 1) - (1 + √3)) / 2 = -2 / 2 = -1
3. Найдем x для tgx = √3: x = arctg(√3) + πn = π/3 + πn, где n - целое число.
4. Найдем x для tgx = -1: x = arctg(-1) + πk = -π/4 + πk, где k - целое число.
5. Определим корни на промежутке [-250°; 250°] или [-250π/180; 250π/180] радиан, что примерно равно [-4.36; 4.36]:
   • Для x = π/3 + πn:
     • n = -2: x = π/3 - 2π = -5π/3 ≈ -5.24 (не входит)
     • n = -1: x = π/3 - π = -2π/3 ≈ -2.09
     • n = 0: x = π/3 ≈ 1.05
     • n = 1: x = π/3 + π = 4π/3 ≈ 4.19
     • n = 2: x = π/3 + 2π = 7π/3 ≈ 7.33 (не входит)
   • Для x = -π/4 + πk:
     • k = -1: x = -π/4 - π = -5π/4 ≈ -3.93
     • k = 0: x = -π/4 ≈ -0.79
     • k = 1: x = -π/4 + π = 3π/4 ≈ 2.36
     • k = 2: x = -π/4 + 2π = 7π/4 ≈ 5.50 (не входит)
6. Корни в градусах:
   • x = -2π/3 = -120°
   • x = π/3 = 60°
   • x = 4π/3 = 240°
   • x = -5π/4 = -225°
   • x = -π/4 = -45°
   • x = 3π/4 = 135°
7. Наименьший корень: -225°
8. Количество различных корней: 6
9. Произведение: -225 * 6 = -1350

Ответ: -1350