Решите уравнение: (x - 4)(x² - 9) - (x - 3)(x - 4) = 0

Решение:

Для решения уравнения вынесем общий множитель \( (x - 4) \) за скобки:

\[ (x - 4)(x^2 - 9) - (x - 3)(x - 4) = 0 \]

\[ (x - 4) [ (x^2 - 9) - (x - 3) ] = 0 \]

Теперь упростим выражение во вторых скобках:

\[ x^2 - 9 - x + 3 \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ (x - 4)(x^2 - x - 6) = 0 \]

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. \( x - 4 = 0 \)

2. \( x^2 - x - 6 = 0 \)

Решим первое уравнение:

\[ x - 4 = 0 \]

\[ x = 4 \]

Решим второе квадратное уравнение \( x^2 - x - 6 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x = 4, x = 3, x = -2 \]

Ответ: \(-2; 3; 4\)