Решите уравнение x⁴ = (4x + 32)² Запишите решение и ответ.

Ответ: -4; 8

Дано уравнение: \(x^4 = (4x + 32)^2\)

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(\sqrt{x^4} = \sqrt{(4x + 32)^2}\)

Получаем: \(x^2 = |4x + 32|\)

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \(4x + 32 \ge 0\) или \(x \ge -8\). Тогда \(x^2 = 4x + 32\). Перенесем все в левую часть: \(x^2 - 4x - 32 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4(1)(-32) = 16 + 128 = 144\) Корни: \(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8\) \(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
2. Случай 2: \(4x + 32 < 0\) или \(x < -8\). Тогда \(x^2 = -(4x + 32)\). Перенесем все в левую часть: \(x^2 + 4x + 32 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = 4^2 - 4(1)(32) = 16 - 128 = -112\) Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Проверим корни, полученные в первом случае:

• Для \(x = 8\): \(8^4 = (4 \cdot 8 + 32)^2\) => \(4096 = (32 + 32)^2\) => \(4096 = 64^2\) => \(4096 = 4096\) (верно)
• Для \(x = -4\): \((-4)^4 = (4 \cdot (-4) + 32)^2\) => \(256 = (-16 + 32)^2\) => \(256 = 16^2\) => \(256 = 256\) (верно)

Таким образом, корни уравнения: -4 и 8.

Ответ: -4; 8