4) 5) Решите уравнение x² − 2x + √6 − x = √6 − x + 35.

Решим уравнение $$x^2 - 2x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 35$$.

1. Вычтем $$\sqrt{6-x}$$ из обеих частей: $$x^2 - 2x = 35$$.
2. Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$x^2 - 2x - 35 = 0$$.
3. Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или квадратного дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$$.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2} = 7$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2} = -5$$.

4. Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:

При $$x = 7$$: $$\sqrt{6-x} = \sqrt{6-7} = \sqrt{-1}$$, что не имеет смысла, так как под корнем отрицательное число.

При $$x = -5$$: $$\sqrt{6-x} = \sqrt{6-(-5)} = \sqrt{11}$$.

5. Подставим $$x = -5$$ в уравнение: $$(-5)^2 - 2(-5) + \sqrt{6 - (-5)} = \sqrt{6 - (-5)} + 35$$.
6. $$25 + 10 + \sqrt{11} = \sqrt{11} + 35$$.
7. $$35 + \sqrt{11} = \sqrt{11} + 35$$.

Таким образом, $$x = -5$$ является корнем уравнения.

Ответ: -5