6. Решите уравнение: 1)√2x + 48 = -х; 2)√x - 2 + √x - 2 = 20; 3) √2x+7-√x-5 = 3.

1) Решите уравнение: $$\sqrt{2x + 48} = -x$$

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$ (\sqrt{2x + 48})^2 = (-x)^2 $$ $$ 2x + 48 = x^2 $$

2. Приведем к квадратному уравнению:

$$ x^2 - 2x - 48 = 0 $$

3. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 $$ $$ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$ $$ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $$

4. Проверим корни:

а) $$x = 8$$:

$$ \sqrt{2 \cdot 8 + 48} = -8 $$ $$ \sqrt{16 + 48} = -8 $$ $$ \sqrt{64} = -8 $$ $$ 8 = -8 $$

Неверно, корень $$x=8$$ не подходит.

б) $$x = -6$$:

$$ \sqrt{2 \cdot (-6) + 48} = -(-6) $$ $$ \sqrt{-12 + 48} = 6 $$ $$ \sqrt{36} = 6 $$ $$ 6 = 6 $$

Верно, корень $$x = -6$$ подходит.

Ответ: $$x = -6$$

2) Решите уравнение: $$\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} = 20$$

1. Упростим уравнение:

$$ 2\sqrt{x - 2} = 20 $$ $$ \sqrt{x - 2} = 10 $$

2. Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$ (\sqrt{x - 2})^2 = 10^2 $$ $$ x - 2 = 100 $$

3. Найдем x:

$$ x = 100 + 2 $$ $$ x = 102 $$

Ответ: $$x = 102$$

3) Решите уравнение: $$\sqrt{2x + 7} - \sqrt{x - 5} = 3$$

1. Перенесем один из корней в правую часть уравнения:

$$ \sqrt{2x + 7} = 3 + \sqrt{x - 5} $$

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$ (\sqrt{2x + 7})^2 = (3 + \sqrt{x - 5})^2 $$ $$ 2x + 7 = 9 + 6\sqrt{x - 5} + x - 5 $$

3. Упростим уравнение:

$$ 2x + 7 = x + 4 + 6\sqrt{x - 5} $$ $$ x + 3 = 6\sqrt{x - 5} $$

4. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$ (x + 3)^2 = (6\sqrt{x - 5})^2 $$ $$ x^2 + 6x + 9 = 36(x - 5) $$ $$ x^2 + 6x + 9 = 36x - 180 $$

5. Приведем к квадратному уравнению:

$$ x^2 - 30x + 189 = 0 $$

6. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 189 = 900 - 756 = 144 $$ $$ x_1 = \frac{-(-30) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{30 + 12}{2} = \frac{42}{2} = 21 $$ $$ x_2 = \frac{-(-30) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{30 - 12}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$

7. Проверим корни:

а) $$x = 21$$:

$$ \sqrt{2 \cdot 21 + 7} - \sqrt{21 - 5} = 3 $$ $$ \sqrt{42 + 7} - \sqrt{16} = 3 $$ $$ \sqrt{49} - 4 = 3 $$ $$ 7 - 4 = 3 $$ $$ 3 = 3 $$

Верно, корень $$x=21$$ подходит.

б) $$x = 9$$:

$$ \sqrt{2 \cdot 9 + 7} - \sqrt{9 - 5} = 3 $$ $$ \sqrt{18 + 7} - \sqrt{4} = 3 $$ $$ \sqrt{25} - 2 = 3 $$ $$ 5 - 2 = 3 $$ $$ 3 = 3 $$

Верно, корень $$x = 9$$ подходит.

Ответ: $$x_1 = 21$$, $$x_2 = 9$$