6.. Решите уравнение: \(\frac{2x}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{3x+1}{x^2-1}\)

Чтобы решить уравнение \(\frac{2x}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{3x+1}{x^2-1}\), выполним следующие шаги: 1. Заметим, что \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). Приведем все дроби к общему знаменателю \((x-1)(x+1)\): \(\frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}\) 2. Умножим обе части уравнения на \((x-1)(x+1)\), чтобы избавиться от знаменателей: \(2x(x+1) + 3(x-1) = 3x+1\) 3. Раскроем скобки и упростим уравнение: \(2x^2 + 2x + 3x - 3 = 3x + 1\) \(2x^2 + 5x - 3 = 3x + 1\) 4. Перенесем все члены в одну сторону: \(2x^2 + 5x - 3 - 3x - 1 = 0\) \(2x^2 + 2x - 4 = 0\) 5. Разделим обе части уравнения на 2: \(x^2 + x - 2 = 0\) 6. Решим квадратное уравнение \(x^2 + x - 2 = 0\) через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) 7. Проверим корни на допустимость. Заметим, что при \(x=1\) знаменатели \(x-1\) и \(x^2-1\) обращаются в нуль, следовательно, \(x=1\) не является решением. Тогда \(x=-2\) является единственным решением. Ответ: \(x = -2\)