7. Решите уравнение \(\frac{3}{x+5} +1= \frac{10}{x^2 + 10x + 25}\).

Решим уравнение:

\(\frac{3}{x+5} + 1 = \frac{10}{x^2 + 10x + 25}\)

Заметим, что \(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\), тогда:

\(\frac{3}{x+5} + 1 = \frac{10}{(x+5)^2}\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{3(x+5) + (x+5)^2}{(x+5)^2} = \frac{10}{(x+5)^2}\)

\(3(x+5) + (x+5)^2 = 10\)

\(3x + 15 + x^2 + 10x + 25 = 10\)

\(x^2 + 13x + 40 = 10\)

\(x^2 + 13x + 30 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49\)

\(x_1 = \frac{-13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 + 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

\(x_2 = \frac{-13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 - 7}{2} = \frac{-20}{2} = -10\)

Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль:

При x = -3: \(x + 5 = -3 + 5 = 2 ≠ 0\), \((x+5)^2 = 4 ≠ 0\)

При x = -10: \(x + 5 = -10 + 5 = -5 ≠ 0\), \((x+5)^2 = 25 ≠ 0\)

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: x = -3, x = -10