4. Решите уравнение $$\frac{x}{x-2} + \frac{8}{4-x^2} - \frac{1}{x+2} = 0$$.

$$\frac{x}{x-2} + \frac{8}{4-x^2} - \frac{1}{x+2} = 0$$

$$\frac{x}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} - \frac{1}{x+2} = 0$$

Общий знаменатель: (x-2)(x+2)

$$\frac{x(x+2) - 8 - 1(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 0$$

$$x^2 + 2x - 8 - x + 2 = 0$$

$$x^2 + x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверка:

x = 2 не является решением, так как приводит к делению на ноль в исходном уравнении.

x = -3

$$\frac{-3}{-3-2} + \frac{8}{4-(-3)^2} - \frac{1}{-3+2} = \frac{-3}{-5} + \frac{8}{4-9} - \frac{1}{-1} = \frac{3}{5} + \frac{8}{-5} + 1 = \frac{3}{5} - \frac{8}{5} + 1 = -\frac{5}{5} + 1 = -1 + 1 = 0$$

Ответ: x = -3