3. Один катет прямоугольного треугольника на 5 см меньше другого. Найдите длину каждого катета, если площадь этого треугольника равна 42 см².

Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен (x - 5) см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$$\frac{1}{2}x(x-5) = 42$$

$$x(x-5) = 84$$

$$x^2 - 5x - 84 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Так как длина катета не может быть отрицательной, то x = 12 см.

Тогда другой катет равен 12 - 5 = 7 см.

Ответ: 12 см, 7 см.