Решите неравенство \(\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \leq 0\).

Решение:

Чтобы решить неравенство, найдём значения \( x \), при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, а также области знаков числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя:

\( (x + 4)^2 = 0 \)

\( x + 4 = 0 \)

\( x = -4 \)

Числитель \( (x+4)^2 \) всегда неотрицателен \( \geq 0 \). Он равен нулю при \( x = -4 \) и положителен при \( x \neq -4 \).

2. Найдем корни знаменателя:

\( x^2 - 9 = 0 \)

\( x^2 = 9 \)

\( x = 3 \) или \( x = -3 \)

Знаменатель обращается в ноль при \( x = 3 \) и \( x = -3 \). Эти значения не входят в область допустимых значений (ОДЗ), так как деление на ноль невозможно.

3. Определим знаки дроби:

Неравенство \( \frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \leq 0 \) выполняется, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки, или когда числитель равен нулю.

Учитывая, что \( (x+4)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), нам нужно, чтобы знаменатель \( x^2 - 9 \) был отрицательным, и числитель был равен нулю.

Случай 1: Числитель равен нулю.

\( (x + 4)^2 = 0 \) => \( x = -4 \). При \( x = -4 \), дробь равна \( \frac{0}{(-4)^2 - 9} = \frac{0}{16-9} = \frac{0}{7} = 0 \). Условие \( \leq 0 \) выполняется. Значит, \( x = -4 \) является решением.

Случай 2: Числитель положителен, а знаменатель отрицателен.

\( (x + 4)^2 > 0 \) => \( x \neq -4 \).

\( x^2 - 9 < 0 \) => \( -3 < x < 3 \).

Объединяя эти условия: \( -3 < x < 3 \) и \( x \neq -4 \). Поскольку \( -4 \) не входит в интервал \( (-3, 3) \), то этот интервал является решением.

4. Объединим решения.

Решениями являются \( x = -4 \) и интервал \( (-3, 3) \).

С учётом того, что \( x \neq -3 \) и \( x \neq 3 \).

Объединяя, получаем: \( x = -4 \) или \( -3 < x < 3 \).

Ответ: \( x = -4 \) или \( -3 < x < 3 \).