Сократите дробь $$\frac{17 + 2\sqrt{30}}{\sqrt{15} + \sqrt{2}}$$

Привет! Давай сократим эту дробь.

Чтобы сократить такую дробь, мы можем попробовать умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное к $$\sqrt{15} + \sqrt{2}$$ будет $$\sqrt{15} - \sqrt{2}$$.

$$\frac{17 + 2\sqrt{30}}{\sqrt{15} + \sqrt{2}} = \frac{(17 + 2\sqrt{30}) \times (\sqrt{15} - \sqrt{2})}{(\sqrt{15} + \sqrt{2}) \times (\sqrt{15} - \sqrt{2})}$$

Разберем знаменатель:

$$(\sqrt{15} + \sqrt{2})(\sqrt{15} - \sqrt{2})$$ — это разность квадратов $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$.

$$(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{2})^2 = 15 - 2 = 13$$

Разберем числитель:

$$(17 + 2\sqrt{30}) \times (\sqrt{15} - \sqrt{2}) = 17\sqrt{15} - 17\sqrt{2} + 2\sqrt{30}\sqrt{15} - 2\sqrt{30}\sqrt{2}$$

Упростим корни:

• $$2\sqrt{30}\sqrt{15} = 2\sqrt{30 \times 15} = 2\sqrt{450} = 2\sqrt{225 × 2} = 2 × 15\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$$
• $$2\sqrt{30}\sqrt{2} = 2\sqrt{30 × 2} = 2\sqrt{60} = 2\sqrt{4 × 15} = 2 × 2\sqrt{15} = 4\sqrt{15}$$

Теперь подставим обратно в числитель:

$$17\sqrt{15} - 17\sqrt{2} + 30\sqrt{2} - 4\sqrt{15}$$

Сгруппируем подобные члены:

$$(17\sqrt{15} - 4\sqrt{15}) + (-17\sqrt{2} + 30\sqrt{2}) = 13\sqrt{15} + 13\sqrt{2}$$

Теперь запишем дробь с новым числителем и знаменателем:

$$\frac{13\sqrt{15} + 13\sqrt{2}}{13}$$

Вынесем 13 из числителя:

$$\frac{13(\sqrt{15} + \sqrt{2})}{13}$$

Сократим 13:

$$\sqrt{15} + \sqrt{2}$$

Ответ: Сокращенная дробь равна $$\sqrt{15} + \sqrt{2}$$.