Решите неравенство: 4) (2-x)(x²+2x-8)20; 9) (x²+2x-15)(x²-4x+3)≤0; 5) \frac{1}{x}≥\frac{1}{x-2};

Ответ: 4) x ∈ (-∞; -4] ∪ [2]

1. Шаг 1: Решение неравенства 4) (2-x)(x²+2x-8)≥0

   Разложим квадратный трехчлен на множители: \[x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)\]

   Тогда неравенство примет вид: \[(2 - x)(x + 4)(x - 2) ≥ 0\]

   Умножим на -1, чтобы изменить знак у скобки (2 - x): \[(x - 2)(x + 4)(x - 2) ≤ 0\]

   \[(x - 2)^2(x + 4) ≤ 0\]

   Решаем методом интервалов. Нули функции: x = -4, x = 2.

   Определим знаки на интервалах:

   • x < -4: (-)(-)² = (-)
   • -4 < x < 2: (+)(-)² = (+)
   • x > 2: (+)(+)² = (+)

   Решением является интервал, где функция меньше или равна нулю: \[x ∈ (-∞; -4] ∪ [2]\]

Ответ: 4) x ∈ (-∞; -4] ∪ [2]

Ответ: 9) x ∈ [-5; 1] ∪ [3]

1. Шаг 1: Решение неравенства 9) (x²+2x-15)(x²-4x+3)≤0

   Разложим квадратные трехчлены на множители:

   • \[x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)\]
   • \[x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\]

   Тогда неравенство примет вид: \[(x + 5)(x - 3)(x - 1)(x - 3) ≤ 0\]

   \[(x + 5)(x - 1)(x - 3)^2 ≤ 0\]

   Решаем методом интервалов. Нули функции: x = -5, x = 1, x = 3.

   Определим знаки на интервалах:

   • x < -5: (-)(-)(+) = (+)
   • -5 < x < 1: (+)(-)(+) = (-)
   • 1 < x < 3: (+)(+)(+) = (+)
   • x > 3: (+)(+)(+) = (+)

   Решением является интервал, где функция меньше или равна нулю: \[x ∈ [-5; 1] ∪ [3]\]

Ответ: 9) x ∈ [-5; 1] ∪ [3]

Ответ: 5) x ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞)

1. Шаг 1: Решение неравенства 5) \(\frac{1}{x} ≥ \frac{1}{x-2}\)

   Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} ≥ 0\]

   \[\frac{(x-2) - x}{x(x-2)} ≥ 0\]

   \[\frac{-2}{x(x-2)} ≥ 0\]

   Умножим на -1, чтобы избавиться от минуса в числителе: \[\frac{2}{x(x-2)} ≤ 0\]

   Решаем методом интервалов. Нули функции: x = 0, x = 2.

   Определим знаки на интервалах:

   • x < 0: (+)/(-)(-) = (+)
   • 0 < x < 2: (+)/(+)(-) = (-)
   • x > 2: (+)/(+)(+) = (+)

   Решением является интервал, где функция меньше или равна нулю: \[x ∈ (0; 2)\]

Ответ: 5) x ∈ (0; 2)