Решите неравенство $$25^x - 4 \cdot 5^x - 5 \geq 0$$

Решим неравенство $$25^x - 4 \cdot 5^x - 5 \geq 0$$. Заметим, что $$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$$. Пусть $$t = 5^x$$, тогда неравенство примет вид: $$t^2 - 4t - 5 \geq 0$$ Решим квадратное уравнение $$t^2 - 4t - 5 = 0$$. По теореме Виета: $$t_1 + t_2 = 4$$ $$t_1 \cdot t_2 = -5$$ $$t_1 = 5, t_2 = -1$$ Таким образом, $$t^2 - 4t - 5 = (t - 5)(t + 1)$$. Неравенство принимает вид: $$(t - 5)(t + 1) \geq 0$$ Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки $$t = -1$$ и $$t = 5$$. ----(-1)----(5)----> Решением неравенства является $$t \leq -1$$ или $$t \geq 5$$. Вернемся к замене $$t = 5^x$$. Получаем два неравенства: 1) $$5^x \leq -1$$. Это неравенство не имеет решений, так как $$5^x > 0$$ для любого $$x$$. 2) $$5^x \geq 5$$. Это неравенство можно переписать как $$5^x \geq 5^1$$. Так как основание $$5 > 1$$, функция $$5^x$$ возрастает, и следовательно, $$x \geq 1$$. Ответ: $$x \geq 1$$