12. Решите неравенство \(\frac{4}{x^2+12x+32} \ge \frac{3}{x^2+10x+24}\) (26)

Решим неравенство:

$$\frac{4}{x^{2}+12 x+32} \geq \frac{3}{x^{2}+10 x+24}$$
$$\frac{4}{(x+4)(x+8)} - \frac{3}{(x+4)(x+6)} \geq 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{4(x+6) - 3(x+8)}{(x+4)(x+8)(x+6)} \geq 0$$
$$\frac{4x + 24 - 3x - 24}{(x+4)(x+8)(x+6)} \geq 0$$
$$\frac{x}{(x+4)(x+8)(x+6)} \geq 0$$

Метод интервалов:

Корни: x = 0, x = -4, x = -6, x = -8

Расставим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

  +       -       +       -       + 
----(-8)----(-6)----(-4)----(0)---->

Неравенство больше или равно нулю при:

$$x \in (-8; -6) \cup (-4; 0] \cup (0; +\infty)$$

Ответ: \((-8; -6) \cup (-4; 0]\)