7. Решить уравнение $$log_2\frac{2}{x-1} = log_2 x$$

Так как основания логарифмов одинаковые, приравниваем аргументы:

$$\frac{2}{x-1} = x$$

Решим уравнение:

$$2 = x(x-1)$$$$2 = x^2 - x$$$$x^2 - x - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

Проверим корни на принадлежность области определения.

Аргументы логарифмов должны быть больше 0:

1. $$x>0$$
2. $$\frac{2}{x-1}>0$$

Первый корень $$x_1=2$$ удовлетворяет этим условиям.

Второй корень $$x_2=-1$$ не удовлетворяет первому условию, поэтому он является посторонним.

Ответ: $$x = 2$$