Решить уравнение: \(\frac{3}{x-5}\) + 5 = \(\frac{x+3}{x}\)

Решение:

1. Найдем общий знаменатель для всех дробей. Общий знаменатель будет $$x(x-5)$$.
2. Приведем все дроби к общему знаменателю:

   \[ \frac{3 \cdot x}{x(x-5)} + \frac{5 \cdot x(x-5)}{x(x-5)} = \frac{(x+3) \cdot (x-5)}{x(x-5)} \]

3. Запишем уравнение с общим знаменателем:

   \[ \frac{3x}{x(x-5)} + \frac{5x(x-5)}{x(x-5)} = \frac{(x+3)(x-5)}{x(x-5)} \]

4. Умножим числитель на числитель и раскроем скобки:

   \[ 3x + 5x^2 - 25x = x^2 - 5x + 3x - 15 \]

5. Упростим обе части уравнения:

   \[ 5x^2 - 22x = x^2 - 2x - 15 \]

6. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

   \[ 5x^2 - x^2 - 22x + 2x + 15 = 0 \]

   \[ 4x^2 - 20x + 15 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант ($$D = b^2 - 4ac$$):

   В нашем случае $$a=4$$, $$b=-20$$, $$c=15$$.

   \[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 400 - 16 \cdot 15 = 400 - 240 = 160 \]

   \[ \sqrt{D} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \]

8. Найдем корни уравнения ($$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$):

   \[ x_1 = \frac{20 + 4\sqrt{10}}{2 \cdot 4} = \frac{20 + 4\sqrt{10}}{8} = \frac{4(5 + \sqrt{10})}{8} = \frac{5 + \sqrt{10}}{2} \]

   \[ x_2 = \frac{20 - 4\sqrt{10}}{2 \cdot 4} = \frac{20 - 4\sqrt{10}}{8} = \frac{4(5 - \sqrt{10})}{8} = \frac{5 - \sqrt{10}}{2} \]

9. Проверим, не равны ли знаменатели нулю при найденных корнях. Знаменатели $$x$$ и $$x-5$$ не должны быть равны нулю. Значит, $$x
   eq 0$$ и $$x
   eq 5$$. Оба найденных корня не равны 0 и 5.

Ответ: $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{10}}{2}$$, $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{10}}{2}$$