617. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 3x² - 24x + 21; б) 5z² + 10z - 15; в) 1/6 x² + 1/2 x + 1/3; г) x² - 12x + 20; д) -y² + 16y – 15; e) -t² - 8t + 9;

Определим предмет: Алгебра. Разложим на множители квадратный трехчлен вида $$ax^2+bx+c$$. Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно найти корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$. Если корни $$x_1$$ и $$x_2$$, то разложение имеет вид $$a(x-x_1)(x-x_2)$$. a) $$3x^2 - 24x + 21$$ Решим уравнение $$3x^2 - 24x + 21=0$$ Разделим обе части на 3: $$x^2-8x+7=0$$ $$D = (-8)^2-4cdot1cdot7=64-28=36$$ $$x_1 = \frac{8+\sqrt{36}}{2}=\frac{8+6}{2}=7$$ $$x_2 = \frac{8-\sqrt{36}}{2}=\frac{8-6}{2}=1$$ Тогда разложение: $$3(x-7)(x-1)$$. б) $$5z^2 + 10z - 15$$ Решим уравнение $$5z^2 + 10z - 15=0$$ Разделим обе части на 5: $$z^2+2z-3=0$$ $$D = 2^2-4cdot1cdot(-3)=4+12=16$$ $$z_1 = \frac{-2+\sqrt{16}}{2}=\frac{-2+4}{2}=1$$ $$z_2 = \frac{-2-\sqrt{16}}{2}=\frac{-2-4}{2}=-3$$ Тогда разложение: $$5(z-1)(z+3)$$. в) $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$$ Решим уравнение $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}=0$$ Умножим обе части на 6: $$x^2+3x+2=0$$ $$D = 3^2-4cdot1cdot2=9-8=1$$ $$x_1 = \frac{-3+\sqrt{1}}{2}=\frac{-3+1}{2}=-1$$ $$x_2 = \frac{-3-\sqrt{1}}{2}=\frac{-3-1}{2}=-2$$ Тогда разложение: $$\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$$. г) $$x^2 - 12x + 20$$ Решим уравнение $$x^2 - 12x + 20=0$$ $$D = (-12)^2-4cdot1cdot20=144-80=64$$ $$x_1 = \frac{12+\sqrt{64}}{2}=\frac{12+8}{2}=10$$ $$x_2 = \frac{12-\sqrt{64}}{2}=\frac{12-8}{2}=2$$ Тогда разложение: $$(x-10)(x-2)$$. д) $$-y^2 + 16y - 15$$ Решим уравнение $$-y^2 + 16y - 15=0$$ Умножим обе части на -1: $$y^2-16y+15=0$$ $$D = (-16)^2-4cdot1cdot15=256-60=196$$ $$y_1 = \frac{16+\sqrt{196}}{2}=\frac{16+14}{2}=15$$ $$y_2 = \frac{16-\sqrt{196}}{2}=\frac{16-14}{2}=1$$ Тогда разложение: $$-(y-15)(y-1)$$. e) $$-t^2 - 8t + 9$$ Решим уравнение $$-t^2 - 8t + 9=0$$ Умножим обе части на -1: $$t^2+8t-9=0$$ $$D = 8^2-4cdot1cdot(-9)=64+36=100$$ $$t_1 = \frac{-8+\sqrt{100}}{2}=\frac{-8+10}{2}=1$$ $$t_2 = \frac{-8-\sqrt{100}}{2}=\frac{-8-10}{2}=-9$$ Тогда разложение: $$-(t-1)(t+9)$$. Ответ: a) $$3(x-7)(x-1)$$ б) $$5(z-1)(z+3)$$ в) $$\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$$ г) $$(x-10)(x-2)$$ д) $$-(y-15)(y-1)$$ e) $$-(t-1)(t+9)$$