1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) x² - 4x - 32; 2) 4x² - 15x + 9.

1) Разложите на множители квадратный трёхчлен: x² - 4x - 32.

Для разложения квадратного трёхчлена на множители необходимо решить квадратное уравнение $$x^2 - 4x - 32 = 0$$.

Находим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = -4$$, $$c = -32$$:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Находим корни по формулам:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Квадратный трёхчлен можно представить в виде $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. В данном случае, $$a = 1$$, $$x_1 = 8$$, $$x_2 = -4$$. Следовательно, разложение имеет вид:

$$x^2 - 4x - 32 = (x - 8)(x + 4)$$

Ответ: $$(x - 8)(x + 4)$$

2) Разложите на множители квадратный трёхчлен: 4x² - 15x + 9.

Для разложения квадратного трёхчлена на множители необходимо решить квадратное уравнение $$4x^2 - 15x + 9 = 0$$.

Находим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 4$$, $$b = -15$$, $$c = 9$$:

$$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Находим корни по формулам:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Квадратный трёхчлен можно представить в виде $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. В данном случае, $$a = 4$$, $$x_1 = 3$$, $$x_2 = \frac{3}{4}$$. Следовательно, разложение имеет вид:

$$4x^2 - 15x + 9 = 4(x - 3)(x - \frac{3}{4}) = (x - 3)(4x - 3)$$

Ответ: $$(x - 3)(4x - 3)$$