Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл 32 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Решение.

Пусть $$ v $$ - скорость лодки в неподвижной воде, км/ч.

Скорость течения реки $$ u = 4 $$ км/ч.

Расстояние между А и В $$ S = 45 $$ км.

Плот проплыл 32 км, следовательно, время, которое он был в пути, составляет $$ t_{\text{плот}} = \frac{32}{4} = 8 $$ часов.

Лодка была в пути на 1 час меньше, то есть $$ t_{\text{лодки}} = 8 - 1 = 7 $$ часов.

Путь лодки из А в В (по течению): $$ t_{AB} = \frac{45}{v + 4} $$

Путь лодки из В в А (против течения): $$ t_{BA} = \frac{45}{v - 4} $$

Суммарное время, которое лодка была в пути: $$ t_{AB} + t_{BA} = 7 $$

Подставим выражения для времени:

$$ \frac{45}{v + 4} + \frac{45}{v - 4} = 7 $$

Умножим обе части уравнения на $$ (v + 4)(v - 4) $$:

$$ 45(v - 4) + 45(v + 4) = 7(v^2 - 16) $$ $$ 45v - 180 + 45v + 180 = 7v^2 - 112 $$ $$ 90v = 7v^2 - 112 $$ $$ 7v^2 - 90v - 112 = 0 $$

Решим квадратное уравнение.

Вычислим дискриминант: $$ D = (-90)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-112) = 8100 + 3136 = 11236 $$ $$ v_1 = \frac{90 + \sqrt{11236}}{14} = \frac{90 + 106}{14} = \frac{196}{14} = 14 $$ $$ v_2 = \frac{90 - 106}{14} = \frac{-16}{14} < 0 $$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч