Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость. течения реки равна 3 км/ч.

Пусть x км/ч - скорость лодки в неподвижной воде.

Плот проплыл 51 км со скоростью течения реки 3 км/ч, значит, время, которое он был в пути:

\[\frac{51}{3} = 17 \; часов\]

Лодка вышла на 2 часа позже и плыла 17 - 2 = 15 часов.

Путь из A в B лодка проплыла по течению со скоростью (x + 3) км/ч, а обратно против течения со скоростью (x - 3) км/ч.

Составим уравнение, учитывая, что расстояние между пристанями равно 108 км:

\[\frac{108}{x+3} + \frac{108}{x-3} = 15\]

Решим уравнение:

\[\frac{108(x-3) + 108(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 15\] \[\frac{108x - 324 + 108x + 324}{x^2 - 9} = 15\] \[\frac{216x}{x^2 - 9} = 15\] \[216x = 15(x^2 - 9)\] \[216x = 15x^2 - 135\] \[15x^2 - 216x - 135 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[5x^2 - 72x - 45 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

\[D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 = 78^2\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15\] \[x_2 = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \; \text{(не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной)}\]

Ответ: 15 км/ч