Постройте график функции у = x²-2x-x²-4-3 и определите, при каких значениях т прямая ут имеет с графиком ровно две общие точки.

Преобразуем функцию:

\[y = x^2-2x-|x^2-4|-3\]

Рассмотрим два случая:

1) Если \[x^2-4 \geq 0\] , то \[|x^2-4| = x^2-4\] , тогда \[y = x^2-2x-(x^2-4)-3 = x^2-2x-x^2+4-3 = -2x+1\]

При условии \[x^2 \geq 4\] , то есть при \[x \leq -2\] или \[x \geq 2\]

2) Если \[x^2-4 < 0\] , то \[|x^2-4| = -(x^2-4) = -x^2+4\] , тогда \[y = x^2-2x-(-x^2+4)-3 = x^2-2x+x^2-4-3 = 2x^2-2x-7\]

При условии \[x^2 < 4\] , то есть при \[-2 < x < 2\]

Теперь построим график функции:

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершину параболы или через точку излома графика.

Вершина параболы:

\[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2\cdot2} = \frac{1}{2}\] \[y_v = 2\cdot(\frac{1}{2})^2 - 2\cdot\frac{1}{2} - 7 = 2\cdot\frac{1}{4} - 1 - 7 = \frac{1}{2} - 8 = -7.5\]

Точки излома графика: (-2; 5) и (2; -3)

Таким образом, прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = -7.5, m = -3 и m = 5.

Ответ: -7.5; -3; 5