Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 10 И МВ=18. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Пусть дан треугольник $$ABC$$. Биссектриса $$CM$$ делит сторону $$AB$$ на отрезки $$AM = 10$$ и $$MB = 18$$. Касательная к окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, проходит через точку $$C$$ и пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Нужно найти $$CD$$.

Так как $$CM$$ – биссектриса, то $$\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$$.

Пусть $$AC = 5x$$, $$BC = 9x$$.

По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, имеем: $$CD^2 = DA \cdot DB$$.

Так как $$CD$$ – касательная, то $$\angle DCA = \angle ABC$$.

Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$BDC$$. В них угол $$D$$ – общий, $$\angle DCA = \angle ABC$$. Следовательно, треугольники $$ADC$$ и $$BDC$$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует: $$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} = \frac{AC}{BC}$$.

Тогда $$CD^2 = AD \cdot BD$$ и $$\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow CD = \frac{AC}{BC} \cdot BD = \frac{5}{9} \cdot BD$$.

Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$BCD$$. По свойству биссектрисы внешнего угла треугольника имеем: $$\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{9}$$.

Пусть $$AD = 5y$$, $$BD = 9y$$. Тогда $$AB = BD - AD = 9y - 5y = 4y$$.

Известно, что $$AB = AM + MB = 10 + 18 = 28$$. Следовательно, $$4y = 28$$ и $$y = 7$$.

Тогда $$AD = 5 \cdot 7 = 35$$, $$BD = 9 \cdot 7 = 63$$.

Теперь найдем $$CD$$: $$CD = \frac{AC}{BC} \cdot BD = \frac{5}{9} \cdot 63 = 5 \cdot 7 = 35$$.

Ответ: 35.