Решение:
Написание «не» с различными частями речи определяется правилами русского языка.
- Ненужные хлопоты (прилагательное, употребляется без «не»).
- Некем заменить (отрицание местоимения, пишется слитно).
- Не девять, а десять часов (отрицание числительного, пишется раздельно).
- Как ни в чём не бывало (отрицание наречия, пишется раздельно).
- Не тот маршрут (отрицание указательного местоимения, пишется раздельно).
- Не опираясь на стол (деепричастие, пишется раздельно).
- Не завершённые дела (причастие без зависимых слов, пишется раздельно).
- Не где искать (отрицание наречия, пишется раздельно).
Ответ: Ненужные хлопоты, некем заменить, не девять, а десять часов, как ни в чём не бывало, не тот маршрут, не опираясь на стол, не завершённые дела, не где искать.