4. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?

Для решения этой задачи необходимо учесть, что ускорение свободного падения изменяется с высотой.

Высота ракеты над поверхностью Земли h = 3200 км = 3.2 × 10⁶ м.

Радиус Земли R = 6371 км = 6.371 × 10⁶ м.

Полное расстояние от центра Земли r = R + h = 6.371 × 10⁶ м + 3.2 × 10⁶ м = 9.571 × 10⁶ м.

Ускорение свободного падения на высоте h: $$g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$$, где g - ускорение свободного падения на поверхности Земли (9.81 м/с²).

$$g_h = 9.81 \left( \frac{6.371 \cdot 10^6}{9.571 \cdot 10^6} \right)^2 = 9.81 \left( \frac{6.371}{9.571} \right)^2 \approx 9.81 \cdot (0.6657)^2 \approx 9.81 \cdot 0.4431 \approx 4.346 \text{ м/с}^2$$.

Путь, пройденный ракетой за первую секунду падения: $$s = \frac{g_h t^2}{2}$$, где t = 1 с.

$$s = \frac{4.346 \cdot 1^2}{2} = \frac{4.346}{2} \approx 2.173 \text{ м}$$.

Ответ: Ракета пройдёт примерно 2.173 метра за первую секунду своего падения.