Упражнение 19

1. Дано:

   • Высота орбиты: $$h = 2600 ext{ км} = 2.6 imes 10^6 ext{ м}$$
   • Масса Земли: $$M_3 = 6 imes 10^{24} ext{ кг}$$
   • Радиус Земли: $$R_3 = 6.4 imes 10^6 ext{ м}$$

   Найти: $$v$$ - скорость спутника.

   Решение:

   Скорость спутника на круговой орбите определяется формулой:

   $$v = \sqrt{\frac{GM}{R + h}}$$

   Где:

   • $$G$$ - гравитационная постоянная ($$6.674 imes 10^{-11} ext{ Н} \cdot ext{м}^2 / ext{кг}^2$$)
   • $$M$$ - масса Земли
   • $$R$$ - радиус Земли
   • $$h$$ - высота орбиты над поверхностью Земли

   Подставим значения:

   $$v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^6 + 2.6 \times 10^6}}$$ $$v = \sqrt{\frac{6.674 \times 6 \times 10^{13}}{9 \times 10^6}}$$ $$v = \sqrt{\frac{40.044 \times 10^{13}}{9 \times 10^6}}$$ $$v = \sqrt{4.449 \times 10^7}$$ $$v \approx 6670 ext{ м/с}$$

   Ответ: Скорость спутника приблизительно равна 6670 м/с.

2. Дано:

   • Скорость спутника: $$v = 1.67 ext{ км/с} = 1670 ext{ м/с}$$
   • Ускорение свободного падения на поверхности Луны: $$g = 1.6 ext{ м/с}^2$$

   Найти: $$R$$ - радиус Луны.

   Решение:

   Для спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Луны, можно записать:

   $$v = \sqrt{gR}$$

   Где:

   • $$v$$ - скорость спутника
   • $$g$$ - ускорение свободного падения на поверхности Луны
   • $$R$$ - радиус Луны

   Выразим радиус Луны:

   $$R = \frac{v^2}{g}$$

   Подставим значения:

   $$R = \frac{(1670)^2}{1.6}$$ $$R = \frac{2788900}{1.6}$$ $$R = 1743062.5 ext{ м}$$ $$R \approx 1743 ext{ км}$$

   Ответ: Радиус Луны приблизительно равен 1743 км.