4. «Ракета» на подводных крыльях имеет скорость, на 50 км/ч большую, чем скорость теплохода, и поэтому путь в 210 км она прошла на 7 ч 30 мин быстрее, чем теплоход. Найдите скорость «Ракеты».

Пусть скорость теплохода равна x км/ч, тогда скорость «Ракеты» равна x + 50 км/ч.

Время, которое теплоход затратил на путь: $$\frac{210}{x}$$ ч.

Время, которое «Ракета» затратила на путь: $$\frac{210}{x+50}$$ ч.

По условию, «Ракета» прошла путь на 7 ч 30 мин = 7.5 ч быстрее, чем теплоход:

$$\frac{210}{x} - \frac{210}{x+50} = 7.5$$

$$\frac{210(x+50) - 210x}{x(x+50)} = 7.5$$

$$\frac{210x + 10500 - 210x}{x^2 + 50x} = 7.5$$

$$\frac{10500}{x^2 + 50x} = 7.5$$

$$10500 = 7.5(x^2 + 50x)$$

$$x^2 + 50x = \frac{10500}{7.5} = 1400$$

$$x^2 + 50x - 1400 = 0$$

Дискриминант: $$D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1400) = 2500 + 5600 = 8100 = 90^2$$.

Корни: $$x_1 = \frac{-50 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$$, $$x_2 = \frac{-50 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-140}{2} = -70$$.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 20 км/ч (скорость теплохода).

Тогда скорость «Ракеты» = 20 + 50 = 70 км/ч.

Ответ: 70 км/ч