3. Числитель дроби на 8 меньше ее знаменателя. Если числитель увеличить на 1, а знаменатель на 18, то дробь уменьшится на \frac{1}{4}. Найдите данную дробь.

Пусть числитель дроби равен x, тогда знаменатель равен x + 8. Исходная дробь: $$\frac{x}{x+8}$$.

После изменений числитель становится x + 1, а знаменатель x + 8 + 18 = x + 26. Новая дробь: $$\frac{x+1}{x+26}$$.

По условию, новая дробь меньше исходной на $$\frac{1}{4}$$, то есть:

$$\frac{x}{x+8} - \frac{x+1}{x+26} = \frac{1}{4}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{x(x+26) - (x+1)(x+8)}{(x+8)(x+26)} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{x^2 + 26x - (x^2 + 9x + 8)}{x^2 + 34x + 208} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{17x - 8}{x^2 + 34x + 208} = \frac{1}{4}$$

$$4(17x - 8) = x^2 + 34x + 208$$

$$68x - 32 = x^2 + 34x + 208$$

$$x^2 - 34x + 240 = 0$$

Дискриминант: $$D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1156 - 960 = 196 = 14^2$$.

Корни: $$x_1 = \frac{34 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$$, $$x_2 = \frac{34 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$$.

Если x = 24, то исходная дробь $$\frac{24}{24+8} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$$.

Если x = 10, то исходная дробь $$\frac{10}{10+8} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$$.

Ответ: $$\frac{3}{4}$$ или $$\frac{5}{9}$$