16. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 9√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, а $$r$$ - радиус вписанной окружности квадрата.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата: $$R = \frac{d}{2}$$.

Диагональ квадрата равна $$d = a\sqrt{2}$$, где $$a$$ - сторона квадрата. Тогда $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата: $$r = \frac{a}{2}$$.

Дано: $$R = 9\sqrt{2}$$. Надо найти $$r$$.

Выразим сторону квадрата $$a$$ через $$R$$: $$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 9\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 18$$.

Теперь найдем радиус вписанной окружности: $$r = \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9$$.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 9.

Ответ: 9