Работа №3 1. В треугольнике АВС А = 45°, B = 60°., BC = 3√2. Найдите: a). AC; б). радиус описанной окружности вокруг треугольника АВС.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle B = 60^{\circ} \), \( BC = 3\sqrt{2} \).

Найти: a) AC, б) R (радиус описанной окружности).

а) Нахождение стороны AC:

Сумма углов треугольника равна 180°.

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ} \).

Используем теорему синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \).

Где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).

Нам нужно найти AC (b). Используем отношение \( \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \):

\( \frac{AC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 45^{\circ}} \)

\( AC = BC · \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \)

Значения синусов: \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( AC = 3\sqrt{2} · \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} · \frac{\sqrt{3}}{2} · \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} · \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3} \).

б) Нахождение радиуса описанной окружности:

Радиус описанной окружности можно найти по формуле \( R = \frac{c}{2 \sin C} \) или \( R = \frac{a}{2 \sin A} \) или \( R = \frac{b}{2 \sin B} \).

Используем отношение \( R = \frac{BC}{2 \sin A} \):

\( R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 45^{\circ}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 · \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \).

Ответ:

а) AC = \( 3\sqrt{3} \).

б) Радиус описанной окружности R = 3.