Пункт 127 42. Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (г) окружностей треугольника: R = abe 4S r= a+b+c 2S

Ответ: Формулы выведены в решении.

Решение:

• Формула радиуса описанной окружности: \(R = \frac{abc}{4S}\), где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.
• Формула радиуса вписанной окружности: \(r = \frac{2S}{a+b+c}\), где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.

Формула радиуса описанной окружности:

• Пусть дан треугольник ABC, описанный вокруг окружности с радиусом R.
• Площадь треугольника ABC может быть выражена как: \(S = \frac{abc}{4R}\).
• Отсюда, выразим радиус описанной окружности: \(R = \frac{abc}{4S}\).

Формула радиуса вписанной окружности:

• Пусть дан треугольник ABC, в который вписана окружность с радиусом r.
• Площадь треугольника ABC может быть выражена как: \(S = pr\), где p - полупериметр треугольника (\(p = \frac{a+b+c}{2}\)).
• Отсюда, \(r = \frac{S}{p} = \frac{S}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{2S}{a+b+c}\).

Ответ: Формулы выведены в решении.