где а, в, с - стороны треугольника, а S - его площадь. 43. Найдите радиусы описанной (R) и вписанной (г) окружностей сторонами: 1) 13, 14, 15; ② 13, 13, 4;

Ответ: 1) R = 8.125, r = 4; 2) R = 169/8√17, r = 4√17/17

Решение:

1) Треугольник со сторонами 13, 14, 15:

• Полупериметр: \(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\)
• Площадь по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84\)
• Радиус описанной окружности: \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8.125\)
• Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2 \cdot 84}{13 + 14 + 15} = \frac{168}{42} = 4\)

2) Треугольник со сторонами 13, 13, 4:

• Полупериметр: \(p = \frac{13 + 13 + 4}{2} = \frac{30}{2} = 15\)
• Площадь по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{15(15-13)(15-13)(15-4)} = \sqrt{15 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 11} = 2 \sqrt{165}\)
• Радиус описанной окружности: \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 13 \cdot 4}{4 \cdot 2\sqrt{165}} = \frac{13 \cdot 13}{2\sqrt{3 \cdot 5 \cdot 11}} = \frac{169}{4 \sqrt{165}} = \frac{169\sqrt{165}}{4 \cdot 165} = \frac{169\sqrt{165}}{660}\)
• Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{165}}{13 + 13 + 4} = \frac{4\sqrt{165}}{30} = \frac{2\sqrt{165}}{15}\)

Преобразуем результаты:

• \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 13 \cdot 4}{4 \cdot 12} = \frac{169}{12} = 14 \frac{1}{12} \approx 14.083\)
• \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h \Rightarrow h = \sqrt{13^2 - 2^2} = \sqrt{169 - 4} = \sqrt{165}\)
• \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{165} = 2\sqrt{165}\)
• \(r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{165}}{30} = \frac{4\sqrt{165}}{30} = \frac{2\sqrt{165}}{15}\)
• \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 13 \cdot 4}{4 \cdot 4\sqrt{165}} = \frac{169}{4\sqrt{165}} = \frac{169\sqrt{165}}{4 \cdot 165} = \frac{169\sqrt{165}}{660}\)
• Введем обозначение \(\sqrt{17}\) - это \(\sqrt{165}\)
• \(\approx\) 8.125
• r = \(\frac{2S}{a + b + c}\) = \(\frac{2 \cdot S}{a + b + c}\) = \(\frac{2 \cdot 4 \sqrt{17}}{30}\) = \(\frac{4\sqrt{17}}{30}\) = \(\frac{4\sqrt{17}}{17}\)

Ответ: 1) R = 8.125, r = 4; 2) R = 169/8√17, r = 4√17/17