22 Прямая у = 4х имеет ровно одну общую точку с графиком функции y=x²+2px +36. Найдите р.

Для того чтобы прямая y = 4x имела ровно одну общую точку с графиком функции $$y = x^2 + 2px + 36$$, необходимо, чтобы уравнение $$x^2 + 2px + 36 = 4x$$ имело ровно одно решение.

Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$x^2 + 2px - 4x + 36 = 0$$, $$x^2 + (2p - 4)x + 36 = 0$$.

Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю, чтобы уравнение имело ровно одно решение.

D = $$(2p - 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 0$$.

$$4p^2 - 16p + 16 - 144 = 0$$, $$4p^2 - 16p - 128 = 0$$.

Разделим уравнение на 4: $$p^2 - 4p - 32 = 0$$.

Найдем корни уравнения: $$p = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{4 \pm 12}{2}$$.

Получаем два значения: $$p_1 = \frac{4 + 12}{2} = 8$$, $$p_2 = \frac{4 - 12}{2} = -4$$.

Ответ: -4, 8