23 Дана окружность с центром в точке О и точка А, лежащая вне этой окружности. Из точки А проведены две прямые, которые касаются этой окружности в точках М и N. Найдите радиус данной окружности, если АО = 50, MN = 48 и дополнительно известно, что АМ <ОМ.

Пусть R - радиус окружности. AM и AN - касательные к окружности, проведенные из точки А. Тогда OM ⊥ AM и ON ⊥ AN.

Треугольники AMO и ANO прямоугольные, и AO - их общая гипотенуза. Так как AM и AN - касательные, проведенные из одной точки, то AM = AN и OM = ON = R.

Четырехугольник AMON - дельтоид, диагонали которого перпендикулярны. Диагонали дельтоида являются биссектрисами его углов.

Рассмотрим треугольник AMO. Он прямоугольный, OM = R и AO = 50. Пусть AM = x. Тогда по теореме Пифагора $$x^2 + R^2 = 50^2$$.

$$x^2 + R^2 = 2500$$ (1)

Рассмотрим треугольник AMN. Так как AM = AN, то треугольник равнобедренный. AO является биссектрисой угла MAN, и MN ⊥ AO. Пусть точка пересечения AO и MN будет K.

Тогда MK = KN = MN/2 = 48/2 = 24.

Рассмотрим треугольник AMO. Из условия AM < OM, а OM = R и OK + KA = 50, то AM < R, то у треугольника AMN угол MAK = arctg(24/x). А у треугольника AMO угол MAO = arccos(x/50).

Треугольник MKO подобен треугольнику AMO, а также MKO прямоугольный. Тогда sin ∠MAO = MK/AM = 24/x.

В треугольнике AMO: $$R = \sqrt{50^2 - x^2}$$

В треугольнике MAK: sin ∠MAK = 24/x = cos ∠MAO

$$sin^2 ∠MAO + cos^2 ∠MAO = 1$$

$$(\frac{x}{\sqrt{2500}})^2 + (\frac{24}{x})^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{2500} + \frac{576}{x^2} = 1$$

$$x^4 + 576 \cdot 2500 = 2500x^2 \Rightarrow x^4 - 2500x^2 + 1440000 = 0$$

Пусть $$t=x^2$$, тогда $$t^2-2500t + 1440000 = 0$$

$$D = (-2500)^2 - 4 \cdot 1440000 = 6250000-5760000 = 490000$$

$$t_1 = (2500+700)/2 = 1600; x=\sqrt{t_1} = 40$$

$$t_2 = (2500-700)/2 = 900; x=\sqrt{t_2} = 30$$

Так как AM < OM, x = 30, а R = 40

Ответ: 40