23. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите отрезок EF, если AD = 48, BC = 16, CF : DF = 5:3.

**Решение:** 1. **Обозначения и построение:** Пусть ABCD - трапеция, где AD и BC - основания. EF || AD || BC. E лежит на AB, F лежит на CD. Дано: AD = 48, BC = 16, CF : DF = 5 : 3. Пусть CF = 5x, DF = 3x. Тогда CD = CF + DF = 8x. 2. **Построение дополнительной прямой:** Проведём прямую BK || CD, где K лежит на AD. Тогда ABKD - параллелограмм, и AK = BC = 16. Тогда KD = AD - AK = 48 - 16 = 32. 3. **Подобие треугольников:** Рассмотрим треугольник BKD. Проведём отрезок FL || KD, где L лежит на BK. Так как CF : DF = 5 : 3, то BL : LK = 5 : 3. Тогда BL = (5/8) * BK и LK = (3/8) * BK. Так как BK = CD (т.к. ABKD - параллелограмм), то BL = (5/8) * CD = (5/8) * 8x = 5x = CF и LK = (3/8) * CD = 3x = DF. 4. **Выражение для EF:** EF = EL + LF, где EL = BC = 16. LF : KD = CF : CD, тогда LF = KD * (CF / CD) = 32 * (5x / 8x) = 32 * (5 / 8) = 20. EF = 16 + 20 = 36. **Ответ:** EF = 36.