297 Проводится серия испытаний до первого успеха с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи q=1-р в каждой отдельной попытке. Запишите распределение бинарной случайной величины Iₐ, которая является индикатором события А: a) «успех наступил при восьмой попытке»; б) «потребовалось не менее четырёх попыток».

Ответ: Ниже представлены распределения для каждого случая.

Разбираемся:

1. a) «Успех наступил при восьмой попытке».

   • Для того чтобы успех наступил при восьмой попытке, нужно, чтобы первые семь попыток были неудачными.
   • Вероятность этого события: \(P(A) = q^7 \cdot p\).
   • Распределение индикатора \(I_A\):

   Iₐ	0	1
   P(Iₐ)	1 - q⁷p	q⁷p

2. б) «Потребовалось не менее четырёх попыток».

   • Это означает, что успех мог наступить на 4-й, 5-й, 6-й и т.д. попытке.
   • Вероятность этого события можно найти как 1 минус вероятность того, что успех наступил на 1-й, 2-й или 3-й попытке:
   • \(P(A) = 1 - (p + qp + q^2p) = 1 - p(1 + q + q^2)\).
   • Распределение индикатора \(I_A\):

   Iₐ	0	1
   P(Iₐ)	p(1 + q + q²)	1 - p(1 + q + q²)

Ответ: Распределения для каждого случая представлены выше.