Проинтегрировать следующие уравнения: 1. y" + 4y' + 6y = 0

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

\[ r^2 + 4r + 6 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 \]

Корни характеристического уравнения:

\[ r_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -2 \pm i\sqrt{2} \]

Общее решение имеет вид:

\[ y(x) = e^{-2x}(C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x)) \]

Ответ: y(x) = e^-2x(C₁ cos(√2x) + C₂ sin(√2x)).