6. y" - 8y' + 20y = 0

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

\[ r^2 - 8r + 20 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16 \]

Корни характеристического уравнения:

\[ r_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{8 \pm 4i}{2} = 4 \pm 2i \]

Общее решение имеет вид:

\[ y(x) = e^{4x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \]

Ответ: y(x) = e^4x(C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)).