Приведите пример трёзначного натурального числа, которое при делении на 9 и на 10 даёт равные ненулевые остатки, а первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. Если таких чисел несколько, в ответе укажите наибольшее из них.

Пусть число имеет вид \(100a+10b+c\), где первая цифра \(a\) — среднее арифметическое двух других: \(2a=b+c\).

Остатки при делении на 9 и на 10 равны. Так как число по модулю 9 сравнимо с суммой цифр, а по модулю 10 — с последней цифрой, имеем \(a+b+c\equiv c\pmod 9\), то есть \(a+b\equiv0\pmod9\). Следовательно, \(a+b=9\) или \(18\). Случай \(18\) невозможен для цифр при условии \(b+c=2a\), поэтому \(a+b=9\).

Тогда \(b=9-a\), а \(c=2a-b=3a-9\). Для цифры \(c\) требуется \(1\le c\le9\), значит \(4\le a\le6\). Получаем числа: \(438\), \(555\), \(672\). Наибольшее — \(672\).

Ответ: 672.