На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 22 без пропусков и повторений: 1, 2, 3, …, 22. Петя играет в арифметическую игру: за один ход он выбирает два из написанных на доске чисел и записывает на доске модуль их разности, увеличенный на 2, а сами выбранные числа стирает. Так он продолжает до тех пор, пока на доске не останется только одно число. Какое наименьшее число в результате таких действий Петя может оставить на доске?

При ходе числа \(a\) и \(b\) заменяются числом \(|a-b|+2\). Рассмотрим сумму всех чисел по модулю 2: \(|a-b|+2\equiv a+b\pmod2\), поскольку модуль разности имеет ту же чётность, что и сумма.

Значит, чётность итогового числа равна чётности исходной суммы: \[1+2+\dots+22=\frac{22\cdot23}{2}=253,\] которая нечётна. Поэтому итоговое число должно быть нечётным.

После первого хода результат не меньше 2, а при последующих ходах результат всегда не меньше 2. Следовательно, итоговое число не может быть меньше 2; с учётом нечётности оно не меньше 3.

Число 3 достижимо: сначала попарно объединим числа с одинаковой разностью так, чтобы получить набор, который далее сводится к 3. Например, последовательность ходов даёт итог 3, поэтому нижняя граница достигается.

Ответ: 3.