Пристани А и В расположены на озере, расстояние между ними равно 160 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью, на 2 км/ч большей прежней, сделав по пути остановку на 4 ч. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В.

Решение:

Дано:
Расстояние между пристанями \( S = 160 \) км.
Скорость баржи из А в В: \( v_1 \) км/ч.
Скорость баржи из В в А: \( v_2 = v_1 + 2 \) км/ч.
Время остановки на обратном пути: \( t_{ост} = 4 \) ч.
Время в пути из А в В равно времени в пути из В в А (с учётом остановки).

Найти:
Скорость баржи из А в В \( v_1 \) км/ч.

Ход решения:

1. Время движения баржи из А в В: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{160}{v_1} \) ч.
2. Время движения баржи из В в А (без учёта остановки): \( t_{2} = \frac{S}{v_2} = \frac{160}{v_1 + 2} \) ч.
3. Общее время в пути из В в А (с учётом остановки): \( t_{2общ} = t_2 + t_{ост} = \frac{160}{v_1 + 2} + 4 \) ч.
4. По условию, время в пути из А в В равно общему времени в пути из В в А: \( t_1 = t_{2общ} \).
5. Составим уравнение: \( \frac{160}{v_1} = \frac{160}{v_1 + 2} + 4 \).
6. Решим уравнение. Умножим все члены на \( v_1(v_1 + 2) \) (где \( v_1 \neq 0 \) и \( v_1 \neq -2 \)): \( 160(v_1 + 2) = 160v_1 + 4v_1(v_1 + 2) \).
7. Раскроем скобки: \( 160v_1 + 320 = 160v_1 + 4v_1^2 + 8v_1 \).
8. Упростим уравнение: \( 320 = 4v_1^2 + 8v_1 \).
9. Перенесём всё в одну сторону: \( 4v_1^2 + 8v_1 - 320 = 0 \).
10. Разделим на 4: \( v_1^2 + 2v_1 - 80 = 0 \).
11. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 \).
12. \( \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \).
13. Найдем корни: \( v_{1,1} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) и \( v_{1,2} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \).
14. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \( v_1 = 8 \) км/ч.

Ответ: 8 км/ч.