6. При каком значении х значения выражений х - 7, х + 5 и 3х + 1 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

6. Дано: геометрическая прогрессия: $$x-7, x+5, 3x+1$$. Найти: $$x$$ и члены прогрессии.

Решение:

1. Для геометрической прогрессии выполняется условие: $$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$$.
2. Следовательно, $$\frac{x+5}{x-7} = \frac{3x+1}{x+5}$$.
3. $$(x+5)^2 = (x-7)(3x+1)$$.
4. $$x^2 + 10x + 25 = 3x^2 + x - 21x - 7$$.
5. $$x^2 + 10x + 25 = 3x^2 - 20x - 7$$.
6. $$2x^2 - 30x - 32 = 0$$.
7. $$x^2 - 15x - 16 = 0$$.
8. Решим квадратное уравнение: $$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$$. $$x_1 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$$. $$x_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$.
9. При $$x = 16$$, члены прогрессии: $$16-7 = 9$$, $$16+5 = 21$$, $$3 \cdot 16 + 1 = 49$$. Тогда $$q = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$$.
10. При $$x = -1$$, члены прогрессии: $$-1-7 = -8$$, $$-1+5 = 4$$, $$3 \cdot (-1) + 1 = -2$$. Тогда $$q = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$$.

Ответ: При $$x=16$$ члены прогрессии: $$9, 21, 49$$. При $$x=-1$$ члены прогрессии: $$-8, 4, -2$$.