654. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен: 1) 2a²-2a + 1; 2) a² + b² + 2a + 2b + 2; 3) x² + 6x + y² – 2y + 10; 4) 10x2 - 6xy + y²; 5) x² + 5y² + 4xy - 4y + 4; 6) 2a² + 2b2.

Ответ: Представлены разложения на квадраты (или суммы квадратов) для многочленов.

Разложим каждый из многочленов на сумму квадратов:

1. 2a² - 2a + 1 = 2(a² - a) + 1 = 2(a² - a + 1/4 - 1/4) + 1 = 2((a - 1/2)² - 1/4) + 1 = 2(a - 1/2)² - 1/2 + 1 = 2(a - 1/2)² + 1/2

   Разложение: \[2\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\]

2. a² + b² + 2a + 2b + 2 = (a² + 2a) + (b² + 2b) + 2 = (a² + 2a + 1 - 1) + (b² + 2b + 1 - 1) + 2 = (a + 1)² - 1 + (b + 1)² - 1 + 2 = (a + 1)² + (b + 1)²

   Разложение: \[(a + 1)^2 + (b + 1)^2\]

3. x² + 6x + y² - 2y + 10 = (x² + 6x) + (y² - 2y) + 10 = (x² + 6x + 9 - 9) + (y² - 2y + 1 - 1) + 10 = (x + 3)² - 9 + (y - 1)² - 1 + 10 = (x + 3)² + (y - 1)²

   Разложение: \[(x + 3)^2 + (y - 1)^2\]

4. 10x² - 6xy + y² = (9x² - 6xy + y²) + x² = (3x - y)² + x²

   Разложение: \[(3x - y)^2 + x^2\]

5. x² + 5y² + 4xy - 4y + 4 = (x² + 4xy + 4y²) + (y² - 4y + 4) = (x + 2y)² + (y - 2)²

   Разложение: \[(x + 2y)^2 + (y - 2)^2\]

6. 2a² + 2b² = a² + a² + b² + b² = a² + b² + a² + b²

   Разложение: \[a^2 + b^2 + a^2 + b^2\]

Ответ: Представлены разложения на квадраты (или суммы квадратов) для многочленов.