16. Постройте график функции у = {x² - 4х + 5, если х≥ 1 x + 1, если х < 1 и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию по частям:

1) Если $$x \geq 1$$, то $$y = x^2 - 4x + 5$$. Это парабола. Найдем вершину параболы: $$x_в = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2$$. $$y_в = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$. Таким образом, вершина параболы в точке (2; 1). При $$x = 1$$, $$y = 1^2 - 4(1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$$.

2) Если $$x < 1$$, то $$y = x + 1$$. Это прямая. При $$x = 1$$, $$y = 1 + 1 = 2$$.

Нарисуем график функции.

Прямая $$y = m$$ - это горизонтальная прямая. Она имеет с графиком функции ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы или выше точки стыка функций.

Вершина параболы: (2; 1). Следовательно, если $$m = 1$$, то прямая $$y = 1$$ имеет с графиком функции одну общую точку (вершину параболы). При $$m > 2$$ прямая пересекает параболу в двух точках.

Если $$y=2$$, то прямая $$y=2$$ имеет две общие точки с графиком заданной функции: при $$x=1$$ (стык функций) и вторая точка на параболе.

chart { "type": "line", "data": { "labels": [-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], "datasets": [ { "label": "y = x^2 - 4x + 5 (x >= 1)", "data": [null, null, null, 2, 1, 2, 5, 10, 17], "borderColor": "blue", "fill": false, "pointRadius": 4, "tension": 0.4 }, { "label": "y = x + 1 (x < 1)", "data": [-1, 0, 1, 2, null, null, null, null, null], "borderColor": "red", "fill": false, "pointRadius": 4, "tension": 0.4 } ] }, "options": { "scales": { "x": { "title": { "display": true, "text": "x" } }, "y": { "title": { "display": true, "text": "y" } } }, "plugins": { "title": { "display": true, "text": "График функции y = {x^2 - 4x + 5, x >= 1; x + 1, x < 1}" } } } }

Ответ: $$m = 2$$