22. Постройте график функции \[y=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{3.5}+\frac{3.5}{x}\right)\] и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: \(m \in (-\infty;-1] \cup [1;+\infty)\)

График функции:

Анализ:

1. Исследуем функцию \( y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x} \right) \).

2. Найдем производную функции:

   \[ y' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^2} \right) \]

3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   \[ \frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^2} = 0 \]

   \[ \frac{1}{3.5} = \frac{3.5}{x^2} \]

   \[ x^2 = 3.5 \cdot 3.5 \]

   \[ x^2 = 12.25 \]

   \[ x = \pm 3.5 \]

4. Вычислим значения функции в критических точках:

   • При \( x = 3.5 \):

     \[ y = \frac{1}{2} \left( \frac{3.5}{3.5} + \frac{3.5}{3.5} \right) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1 \]

   • При \( x = -3.5 \):

     \[ y = \frac{1}{2} \left( \frac{-3.5}{3.5} + \frac{3.5}{-3.5} \right) = \frac{1}{2} (-1 - 1) = -1 \]

5. Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку, когда она касается графика в точках экстремума. Это происходит при:

   \[ m = 1 \] и \( m = -1 \]

Ответ: m = 1, m = -1